Асимпотическое приближение

а-mini

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ одного выражения к другому заключается в том, что отношение этих выражений стремится к 1, когда независимая переменная приближается к некоторому пределу или неограниченно возрастает. Так, функции sin х и х приближаются асимптотически друг к другу, когда х стремится к нулю; функция у = А( 1—e-t/Т) приближается асимптотически к постоянному значению А, когда t стремится к бесконечности. Если к более сложной функции асимптотически приближается более простая, то у пределов приближения можно заменять сложную функцию более простой, не делая значительной погрешности. Так, очень часто при весьма малых значениях х можно sin х заменять через х. Вследствие этого разыскание функций, асимптотически приближающихся к заданной сложной функции, особенно когда независимая переменная неограниченно возрастает, есть важная задача анализа. В геометрии две кривые асимптотически приближаются друг к другу, если расстояние какой-либо точки одной из них от другой неограниченно убывает, когда эта точка перемещается по первой кривой. Так, диагонали прямоугольника, построенного на осях гиперболы, при неограниченном продолжении их асимптотически приближаются к обеим ветвям гиперболы.

Таким же образом линия может асимптотически приближаться к поверхности, а две поверхности - асимптотически приближаться одна к другой. Так, из центра гиперболоида выходит пучок прямых, образующих коническую поверхность, которая асимптотически приближается к поверхности гиперболоида. Пример. Спираль, уравнение которой в полярных координатах ϱ = a + be, асимптотически приближается к окружности с радиусом ϱ = a.

Чаще всего ищут прямолинейные асимптоты кривых. Чтобы найти асимптоты, параллельные оси ординат, у кривой, уравнение которой y = f (x), надо найти все значения х, обращающие у в бесконечность. В частности, если уравнение кривой дано в виде многочлена, расположенного по степеням у, то вертикальным асимптотам соответствуют те значения х, которые обращают коэффициент при высшей степени у в нуль. Для нахождения асимптот, не параллельных оси у, пользуются следующими правилами: 1) угловой коэффициент асимптоты m равен lim у/х при xà∞; 2) начальная ордината асимптоты равна lim (y—mx) при хà∞. Пример. Дана кривая

asimptotih pribl 1

Угловой коэффициент асимптоты

asimptotih pribl 2

Начальная ордината равна

asimptotih pribl 3

Уравнение асимптоты:

asimptotih pribl 4

Если дано уравнение кривой второго порядка

asimptotih pribl 5

то уравнение асимптот этой кривой есть

asimptotih pribl 6

Алгебраическая кривая m-го порядка имеет не больше m асимптот. Алгебраические кривые имеют всегда четное число ветвей, асимптотических данной прямой. Например, асимптота гиперболы приближается к двум ветвям кривой.

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 1 - 1927 г.